！！【追記あり】

国語におけるビックリマークは驚きだし
数学におけるビックリマークは階乗だけども。
　　
プログラムにおけるビックリマークは否定なのです。はい。
でもビックリマークが２こ並んでるとそれは否定じゃなくなるのです（わかりにく）
　　
つまり、否定の否定（二重否定というらしい）は
一周回ってそのままの状態を表すみたい。
小学生がよく言う「〜の反対の反対ー！」をイメージすればわかりやすいかも。
　　
ただ、それも少し違って。
具体的に説明しましょう。
　　
例えば、数値の１の場合。

alert(1);    //1

１は１。それ以外の何者でもない。
んで１の否定（!1）

alert(!1);    //false

これは false になる。当たり前だけど。
　　
けれども、その「１の否定」の否定である（!!1）は、

alert(!!1);    //true

1 ではなく true になる。
　　
あえて言葉にして簡単に説明すると、
（!!1）は
１を否定 = false → この false を否定 = trueこんな感じに考えれば良い模様。
　　
そうなのです。二重否定とは論理値の否定であり、
そのため戻り値は true か false に限定されるのです！
　　
数値ではなく論理値がほしい時とかにとっても便利なのだとかっ！
おもしろい書き方があるんだなー！
　　

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【追記、訂正】
つい今さっき（!1）が false になるのは当たり前だよね、どやってしたけれど
あたりまえじゃないっす。
いや、動きとしては当たり前に正しいのだけど、
私の頭は全く理解してませんでしたすみません。
twitterでアドバイスもらいました。
　　

!1がfalseになるのは、!演算子がbooleanにしか作用できないため、暗黙に1がbooleanであるtrueに変換されてから!演算子が作用するのです。

　　
ふぬ、なるほど。ということは、（!!1）は
１が ! 演算子のせいで暗黙変換でbooleanに変換されて true になり、その後 ! 演算子が適用され false → さらにそれの否定だから true
ってことか。
なるほどにゃーーーー！スッキリ！
でもあんまり使われないらしいよ、あらら